Probabilidad de que tiemble un 19 de septiembre
Probabilidad de que tiemble un 19 de septiembre
@artitzco
CDMX, septiembre 2022
Resumen
La probabilidad de que en México ocurran más de \(2\) sismos de magnitud \(7.0\) con fecha del 19 de septiembre es de \(0.0018\) \((0.1832\%)\). Una cifra aparentemente pequeña si se le considera a éste como un evento aislado, sin embargo, esta misma probabilidad se replica de forma idéntica para 365 dÃas del año. En realidad, lo ocurrido el 19 de septiembre es tan sólo una observación de la variable aleatoria que mide el número máximo de sismos que se registran en una misma fecha.
La probabilidad de que el número máximo de sismos que se registran en una misma fecha sea igual a \(3\) es de \(0.4506\) \((45.06\%)\) y esto puede ocurrir para \(k\in[0,3]\) fechas distintas, con un \(95\%\) de confianza. La probabilidad de que ocurra lo anterior para al menos \(3\) sismos es \(0.4878\) \((48.78\%)\). Se espera que para el año 2052 exista a lo más una fecha en la que se registren \(4\) sismos de magnitud mayor o igual a \(7.0\), con una probabilidad de \(0.0789\) \((7.89\%)\), para el caso de \(5\) sismos no existe una fecha esperada, con una probabilidad mayor a \(0.95\) \((95\%)\).
Cálculo de probabilidades
Considere los siguientes eventos:
- \(A\): “Tiembla el dÃa \(d\) del mes \(m\) del año \(X\)” (Excluyendo la combinación \(d=\) 29 y \(m=\)“febrero”)
- \(B\): “\(X\) es un año bisiesto”
La probabilidad de que tiemble el dÃa \(d\) del mes \(m\) del año \(X\) está dada por:
\[\begin{aligned}\mathbb P[A]&=\left.\mathbb P\left[A|B\right]\;\mathbb P[B]+\mathbb P\left[A|B^c\right]\;\mathbb P[B^c]\right.\\ &=\left(\frac{1}{366}\right)\left(\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{365}\right)\left(\frac{3}{4}\right)\\ &=\frac{1\,463}{534\,360}\approx 0.00273\;\;(0.2738\%)\end{aligned}\]
Se define la variable aleatoria \(N\) como:
“El número de temblores que ocurren el dÃa \(d\) del mes \(m\)”
AsÃ, \(N\) tiene una distribución de probabilidad \(\mbox{Binomial}(n, p)\), donde \(n\) es el número de sismos que ocurren en un periodo de tiempo y \(p =\frac{1\,463}{534\,360}\) ( La probabilidad de que tiemble el dÃa \(d\) del mes \(m\))
\(\mathbb E\left[N\right]=n\,p\)
\(\mathbb Var\left[N\right]=n\,p\,(1-p)\)
\(\mathbb P\left[N=x\right]=\left(n\atop x\right)p^x\,(1-p)^{n-x},\;x\in\left\lbrace 0,1,\dots,n\right\rbrace\)
Según el Servicio Sismológico Nacional
desde el año 1900 a la fecha se han registrado \(n=87\) sismos con una magnitud de al menos de \(7.0\)
Fuente: http://www.ssn.unam.mx
Si \(k\in \left\lbrace1,2,\dots,n\right\rbrace\), la probabilidad de que tiemble al menos \(k\) veces en la fecha del 19 de septiembre es: \[\mathbb P[N\geq k]=\sum_{x=k}^{87}\left(87\atop x\right)p^x\,(1-p)^{87-x}\]
Particularmente, la probabilidad de acumular \(3\) sismos en la fecha del 19 de septiembre es de \(0.00183\;\;(0.1832\%)\)
| Número de sismos | Probabilidad (%) |
|---|---|
| \(0\) | \(78.7793\) |
| \(1\) | \(18.8162\) |
| \(2\) | \(\,\,2.2213\) |
| \(3\) | \(\,\,0.1728\) |
| \(4\) | \(\,\,0.0100\) |
| \(5\) | \(\,\,0.0005\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) |
Como puede verse, que ocurran 3 sismos con fecha del 19 se septiembre es un evento atÃpico. Lo que nos hace preguntarnos ¿Cuál es la probabilidad de que esto ocurra dado que esta misma distribución es idéntica para 365 dÃas del año?
Definimos la variable aleatoria \(N^{max}\) como “El número máximo de sismos que tienen la misma fecha” (Excluyendo la fecha del 29 de febrero) La función de distribución acumulada de \(N^{max}\) es:
\[\begin{aligned}F_{N^{max}}(x)&=\left(\mathbb P\left[N\leq x\right]\right)^{365}\\&=\left(\sum_{k=0}^x\left(87\atop k\right)p^k\,(1-p)^{87-k}\right)^{365}\end{aligned}\]
| Número de sismos | Probabilidad (%) |
|---|---|
| \(1\) | \(\,\,\,0.0139\) |
| \(2\) | \(51.1902\) |
| \(3\) | \(45.0593\) |
| \(4\) | \(\,\,3.5647\) |
| \(5\) | \(\,\,0.1656\) |
| \(6\) | \(\,\,0.0062\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) |
El valor esperado del número máximo de sismos que tienen la misma fecha está dado por:
\[\mathbb E\left[N^{max}\right]=\sum_{x=0}^{87}x\,\mathbb P\left[N^{max}=x\right]=2.527\]
Los lÃmites inferior y superior del intervalo al \(95\%\) de confianza para el número máximo de sismos que tienen la misma fecha son \(2\) y \(4\) respectivamente.
Sean \(N^k\) el número se fechas en las que se registran \(k\) sismos (Excluyendo la fecha del 29 de febrero)
Entonces, \(N^k\) tienen una distribución \(\mbox{Binomial}(365,\,\mathbb P\left[N=k\right])\)
\[\mathbb P\left[N^k=x\right]=\left(365\atop x\right){\mathbb P\left[N=k\right]}^x\,(1-\mathbb P\left[N=k\right])^{365-x}\] Por lo tanto, el número esperado de fechas en las que se registran \(k\) sismos es
\[\mathbb E\left[N^k\right]= 365\,\mathbb P\left[N=k\right]\]
| Número de sismos (\(k\)) | Intervalo 95% | Valor Esperado | Valor Observado |
|---|---|---|---|
| \(0\) | \([272,303]\) | \(288\) | \(291\) |
| \(1\) | \(\,\,\,[54,84]\) | \(\,\,69\) | \(\,\,62\) |
| \(2\) | \(\,\,\,\,\,\,[3,14]\) | \(\,\,\,8\) | \(\,\,11\) |
| \(3\) | \(\,\,\,\,\,\,[0,3]\) | \(\,\,\,1\) | \(\,\,\,\,1\) |
| \(4\) | \(\,\,\,\,\,\,[0,1]\) | \(\,\,\,0\) | \(\,\,\,\,0\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
Pronóstico
Asumiendo la uniformidad de la ocurrencia de los sismos a lo largo de los años, se producen un promedio de \(0.7073\) nuevos sismos por año, los que nos permite estimar la ocurrencia futura de los sismos para los próximos años
| Número de sismos (\(k\)) | Intervalo 95% | Valor Esperado | \(\mathbb P\left[N^{max}=k\right]\) (%) |
|---|---|---|---|
| \(0\) | \([266,297]\) | \(282\) | \(\;\;\,0\) |
| \(1\) | \(\,\,\,[58,88]\) | \(\,\,73\) | \(\;\;\,0\) |
| \(2\) | \(\,\,\,\,\,\,[4,16]\) | \(\,\,\,9\) | \(43.40\) |
| \(3\) | \(\,\,\,\,\,\,[0,3]\) | \(\,\,\,1\) | \(51.59\) |
| \(4\) | \(\,\,\,\,\,\,[0,1]\) | \(\,\,\,0\) | \(\;\;4.76\) |
| \(5\) | \(\,\,\,\,\,\,[0,0]\) | \(\,\,\,0\) | \(\;\;0.24\) |
Para el año 2032 se habrán acumulado 94 sismos de al menos magnitud 7.0
| Número de sismos (\(k\)) | Intervalo 95% | Valor Esperado | \(\mathbb P\left[N^{max}=k\right]\) (%) |
|---|---|---|---|
| \(0\) | \([261,291]\) | \(277\) | \(\;\;\,0\) |
| \(1\) | \(\,\,\,[62,91]\) | \(\,\,77\) | \(\;\;\,0\) |
| \(2\) | \(\,\,\,\,\,\,[5,17]\) | \(\,\,11\) | \(35.94\) |
| \(3\) | \(\,\,\,\,\,\,[0,3]\) | \(\,\,\,1\) | \(57.51\) |
| \(4\) | \(\,\,\,\,\,\,[0,1]\) | \(\,\,\,0\) | \(\;\;6.19\) |
| \(5\) | \(\,\,\,\,\,\,[0,0]\) | \(\,\,\,0\) | \(\;\;0.34\) |
Para el año 2042 se habrán acumulado 101 sismos de al menos magnitud 7.0
| Número de sismos (\(k\)) | Intervalo 95% | Valor Esperado | \(\mathbb P\left[N^{max}=k\right]\) (%) |
|---|---|---|---|
| \(0\) | \([256,288]\) | \(271\) | \(\;\;\,0\) |
| \(1\) | \(\,\,\,[66,97]\) | \(\,\,80\) | \(\;\;\,0\) |
| \(2\) | \(\,\,\,\,\,\,[6,19]\) | \(\,\,12\) | \(29.04\) |
| \(3\) | \(\,\,\,\,\,\,[0,4]\) | \(\,\,\,1\) | \(62.57\) |
| \(4\) | \(\,\,\,\,\,\,[0,1]\) | \(\,\,\,0\) | \(\;\;7.89\) |
| \(5\) | \(\,\,\,\,\,\,[0,0]\) | \(\,\,\,0\) | \(\;\;0.47\) |
Para el año 2052 se habrán acumulado 108 sismos de al menos magnitud 7.0
Gráficas complementarias
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